Ta có \(y^3=z^4-x^2=\left(z^2+x\right)\left(z^2-x\right)\).
Suy ra \(y^3\) có ước \(z^2+x\). Do y là số nguyên tố nên \(z^2+x\) có dạng \(y^0,y^1,y^2,y^3\).
Th1: \(z^2+z=y^0=1\) (mâu thuẫn).
Th2: \(z^2+z=y^1=y\), khi đó do \(\left(z^2+x\right)\left(z^2-x\right)=y^3\) nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}z^2+x=y\\z^2-x=y^2\end{matrix}\right.\) , suy ra \(z^2-x>z^2+x\) ( vô lỹ do x, y, z là các số nguyên tố).
Th3: \(z^2+z=y^2\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}z^2+x=y^2\\z^2-x=y\end{matrix}\right.\) suy ra \(x=\dfrac{y^2-y}{2}=\dfrac{y\left(y-1\right)}{2}\).
Nếu y = 2 thì \(x=\dfrac{2\left(2-1\right)}{2}=1\).
Nếu y = 3 thì \(x=\dfrac{3\left(3-1\right)}{2}=3\) , khi đó:
\(x^2+y^3=3^2+3^3=36=z^4\) (không có z thỏa mãn).
Nếu \(y>3\) thì y là một số nguyên tố lẻ lớn hơn hoặc bằng 5.
Khi đó \(\dfrac{y-1}{2}\) là một số dương lớn hơn 2 và vì vậy \(x=\dfrac{y\left(y-1\right)}{2}\) có hai ước là \(y,\dfrac{y-1}{2}\) - mâu thuẫn do x là một số nguyên tố.
vậy không có x, y, z thỏa mãn.
