Question

Tìm tất cả các số tự nhiên n để

a) n\(^4\)+4 là số nguyên tố

b)n\(^{1994}\)+n\(^{1993}\)+1 là sô nguyên tố

Answer 1

a.

\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=\left(n^2+2\right)-\left(2n\right)^2=\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)\)

Mà n⁴ + 4 là số nguyên tố

Lại có: \(n^2-2n+2< n^2+2n+2\)

\(\Rightarrow n^2-2n+2=1\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2=0\Leftrightarrow n=1\)

b.

\(n=0\Leftrightarrow n^{1994}+n^{1993}+1=1\) (loại)

\(n=1\Leftrightarrow n^{1994}+n^{1993}+1=1+1+1=3\) (thoả mãn)

\(n>1\Rightarrow\left(n^{1994}+n^{1993}+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\ge7\)

Vậy n = 1