Chắc đề là như này : Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(m+n^2⋮m^2-n\) và \(m^2+n⋮n^2-m\)
Ko mất tính tổng quát giả sử \(n\ge m\) . Ta xét các TH sau :
+ TH1: \(n>m+1\Rightarrow n-1>m\)
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)>m\left(m+1\right)\Rightarrow n^2-m>m^2+n\)
\(\Rightarrow m^2+n⋮̸n^2-m\)
+ TH2: \(n=m+1\) \(\Rightarrow m+\left(m+1\right)^2⋮m^2-\left(m+1\right)\)
\(\Rightarrow m^2-m-1+4m+2⋮m^2-m-1\) \(\Rightarrow4m+2⋮m^2-m-1\)
\(\Rightarrow4m+2\ge m^2-m-1\Rightarrow m^2-5m-3\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5-\sqrt{37}}{2}\le m\le\frac{5+\sqrt{37}}{2}\) \(\Rightarrow m\in\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)
Thử từng TH chú ý n = m + 1
+ TH3: \(n=m\) ta có : \(m+n^2⋮m^2-n\Rightarrow n^2+n⋮n^2-n\Rightarrow2n⋮n^2-n\)
\(\Rightarrow2n\ge n^2-n\) ( do \(2n>0\) ) \(\Rightarrow n^2-3n\le0\Rightarrow0\le n\le3\)
Thử từng TH với đk m = n.
