Question

Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên dương thoả mãn :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}\)

Answer 1

Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{xy+3}{3xy}\)

\(\Leftrightarrow 3(x+y)=xy+3\)

\(\Leftrightarrow x(y-3)=3y-3\)

Dễ thấy $y\neq 3$ nên $y-3\neq 0$

$\Rightarrow x=\frac{3y-3}{y-3}$. Để $x$ nguyên thì:

\(3y-3\vdots y-3\)

\(\Leftrightarrow 3(y-3)+6\vdots y-3\Rightarrow 6\vdots y-3\)

Vì \(x=\frac{3y-3}{y-3}>0\), mà $3y-3\geq 0$ với mọi $y$ nguyên dương nên $y-3>0$

Do đó $y-3\in\left\{1;2;3;6\right\}\Rightarrow y\in\left\{4;5;6;9\right\}

$\Rightarrow x\in\left\{9; 6; 5; 4\right\}$ (tương ứng)

Vậy.............