Ta tìm a\(\le\)b rồi hoán vị để tìm a,b
Ta có: a\(\ge b=>b+1\ge a+1=mb\)(m\(\in\)N)
=> m\(\in\){1;2}.
Với m=1 =>a+1=b=>a+2=b+1.Ta có b+1 chia hết cho a
=>a+2 chia hết cho a. Mà a chia hết cho a
=>2 chia hết cho a
=>a\(\in\)Ư(2)={1;2} => b\(\in\){2;3}
Với m=2=> a+1=2b=>a=2b-1
Mà a chia hết cho a => 2(b+1)-3 chia hết cho a
Mà b+1 chia hết cho a => 3 chia hết cho a
=>a\(\in\)Ư(3)={1;3} => b\(\in\){1;2}. Mà a\(\le\)b=> a=1;b=1
Vậy (a;b)\(\in\){(1;1);(1;2);(2;3);(2;1);(3;2)} (hoán vị a và b)
Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b$
Vì \(a,b\in\mathbb{N}\Rightarrow a+1, b+1>0\)
Do đó, để \(\left\{\begin{matrix} a+1\vdots b\\ b+1\vdots a\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1\geq b \\ b+1\ge a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+2\geq b+1\geq a\). Kết hợp với điều giả sử ban đầu suy ra $a+1\geq b+1\geq a$
\(\Rightarrow b+1\in \left\{a; a+1\right\}\)
+) Nếu $b+1=a\rightarrow b=a-1$
Khi đó \(a+1\vdots b\Leftrightarrow a+1\vdots a-1\)
\(\Leftrightarrow a-1+2\vdots a-1\Leftrightarrow 2\vdots a-1\). Kết hợp với \(a-1=b\geq 0\)
\(\Rightarrow a-1\in\left\{ 1; 2\right\}\Rightarrow a\in \left\{ 2; 3\right\}\)
\(\bullet a=2\rightarrow b=a-1=1\). Ta có cặp $(a,b)=(2,1)$ thỏa mãn.
\(\bullet a=3\Rightarrow b=a-1=2\). Ta có cặp $(a,b)=(3,2)$ thỏa mãn.
+) Nếu \(b+1=a+1\Rightarrow a=b\)
Khi đó \(a+1\vdots b\Leftrightarrow b+1\vdots b\Leftrightarrow 1\vdots b\)
\(\Rightarrow b=1\Rightarrow a=1\). Ta có cặp $(a,b)=(1,1)$ thỏa mãn.
Vậy \((a,b)=(2,1); (3,2); (1,1)\) và các hoán vị.
