Lời giải:
Để $\sqrt{2^n+9}$ là số tự nhiên thì $2^n+9$ phải là một số chính phương.
Đặt $2^n+9=a^2$ với $a\in\mathbb{N}$
$\Leftrightarrow 2^n=a^2-9=(a-3)(a+3)$
Suy ra tồn tại $x, y\in\mathbb{N}$ sao cho:
\(\left\{\begin{matrix} a-3=2^x\\ a+3=2^y\end{matrix}\right.(x< y; x+y=n)\)
\(\Rightarrow 6=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}-1)\)
\(\Leftrightarrow 3=2^{x-1}(2^{y-1}-1)\)
Nếu $x=0$ thì $2^{y-1}=7$ (vô lý)
Nếu $x=1$ thì $y=3$ (thỏa mãn)
Nếu $x>1$ thì $2^{x-1}$ chẵn nên $3=2^{x-1}(2^{y-1}-1)$ chẵn (vô l ý)
Do đó $x=1; y=3$
$\Rightarrow n=x+y=4$
Vậy $n=4$
Đúng 0
Bình luận (0)
