Áp dụng bđt Cauchy có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\);
\(y^4+z^4\ge2\sqrt{y^4z^4}=2y^2z^2\);
\(z^4+x^4\ge2\sqrt{z^4x^4}=2z^2x^2\);
Cộng 2 vế của 3 bđt trên ta có:
\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Lại sử dụng Cauchy có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot y^2z^2}=2xy^2z\left(1\right)\\y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{y^2z^2\cdot z^2x^2}=2xyz^2\left(2\right)\\z^2x^2+x^2y^2\ge2\sqrt{z^2x^2\cdot x^2y^2}=2x^2yz\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) sau đó rút gọn ta đc:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz=xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 1
