Lời giải:
Để \(y=\frac{x^2+2mx+2}{x+1}\) có cực đại và cực tiểu thì \(y'=\frac{x^2+2x+2m-2}{(x+1)^2}=0\) phải có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m-2=0\) có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện: \(\Delta'=1-(2m-2)>0\Leftrightarrow m<\frac{3}{2}\)
Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của PT trên.
Theo bài ra ta có: \(|x_1+y_1+2|=|x_2+y_2+2|\).
Biến đổi \(y=\frac{x^2+2mx+2}{x+1}=x-1+2m+\frac{3-2m}{x+1}\)
Xét 2TH:
TH1: \(x_1+y_1+2=x_2+y_2+2\Leftrightarrow 2x_1+\frac{3-2m}{x_1+1}=2x_2+\frac{3-2m}{x_2+1}\)
\(\Leftrightarrow 2+\frac{2m-3}{(x_1+1)(x_2+1)}=0(1)\). Kết hợp đinh lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
Thay vào $(1)$ thấy vô lý
TH2:
\(x_1+y_1+2=-(x_2+y_2+2)\Leftrightarrow (x_1+x_2)+\frac{(3-2m)(x_1+x_2+2)}{2m-3}+4=0\)
\(\Leftrightarrow -2+4=0\) (vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn
