Question

Tìm m để phương trình có nghiệm

\(sin^2x+\left(m+3\right)cosx=3m+1\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow1-cos^2x+\left(m+3\right)cosx=3m+1\)

\(\Leftrightarrow cos^2x-\left(m+3\right)cosx+3m=0\)

Đặt \(cosx=t\Rightarrow\left|t\right|\le1\)

\(\Rightarrow t^2-\left(m+3\right)t+3m=0\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\)

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-12m=\left(m-3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}t_1=\frac{m+3+m-3}{2}=m\\t_2=\frac{m+3-m+3}{2}=3>1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi và chi khi \(-1\le m\le1\)