Question

Tìm m để hàm số:

\(y=x^3-3mx^2+6\left(m^2-2\right)x+1\) đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\)

Answer 1

\(y'=3x^2-6mx+6\left(m^2-2\right)=3\left(x^2-2mx+2m^2-4\right)\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi với mọi \(x>2\) ta có \(y'\ge0\)

\(\Delta'=m^2-\left(2m^2-4\right)=-m^2+4\)

TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow-m^2+4\le0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2+4>0\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\le0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< m< 2\\2m^2-4m\le0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m< 2\)

Kết hợp lại ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge0\end{matrix}\right.\)