Question

tìm m để hàm số \(y=\dfrac{mx^3}{3}+7mx^2+14x-m+2\) nghịch biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)

Answer 1

\(y'=mx^2+14mx+14\)

- Với \(m=0\Rightarrow y'=14>0\) hàm đồng biến trên R (ktm)

- Với \(m\ne0\) bài toán thỏa mãn khi với mọi \(x>1\) ta có:

\(mx^2+14mx+14\le0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2+14x\right)\le-14\)

\(\Leftrightarrow m\le\dfrac{-14}{x^2+14}\)

\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>1}\dfrac{-14}{x^2+14}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{-14}{x^2+14}\) với \(x>1\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{28\left(x+7\right)}{\left(x^2+14x\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(1\right)=-\dfrac{14}{15}\Rightarrow m\le-\dfrac{14}{15}\)