Lời giải:
ĐKXĐ: \(1\leq x\leq 5\)
\(A=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\)
-------------------------------------------
Ta có bổ đề sau. Với $a,b\geq 0$ thì $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$.
Chứng minh BĐT trên rất đơn giản. Bình phương 2 vế BĐT tương đường với 2\sqrt{ab}\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$
Áp dụng BĐT trên vào bài toán:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{x-1+5-x}=2\)
\(\Rightarrow 3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})\geq 6\)
Và: \(\sqrt{5-x}\geq 0, \forall 1\leq x\leq 5\)
Do đó: \(A\geq 6+0=6\)
Vậy $A_{\min}=6$. Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x-1=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=5\)
