Question

Tìm GTNN của :

A = \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\) ( x , y , z > 0 )

Biết : x² + y² + z² ≤ 3

Làm ơn giúp vs hu hu

Answer 1

Áp dụng BĐT :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ≥ 9

Trong đó : a = xy ; b = yz ; c = xz

⇒ ( xy + yz + xz )\(\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\) ≥ 9 ( * )

Áp dụng BĐT cô - si :

x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0) ( 1 )

y² + z² ≥ 2yz ( y > 0 ; z > 0 ) ( 2)

z² + x² ≥ 2xz ( z >0 ; x > 0) ( 3)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz ( **)

Từ ( * ; **)

⇒(x² + y² + z²).A ≥ ( xy + yz + xz). A ≥ 9

⇒ 3A ≥ 9

⇒ A ≥ 3

⇒ A_MIN = 3 ⇔ x = y = z