ĐKXĐ: \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ne0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=Px^2+Px+P\)
\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2+\left(P+1\right)x+P-1=0\) (1)
Phương trình (1) ẩn x phải có nghiệm
+) P = 1 => x = 0
+) \(P\ne1\) thì (1) là phương trình bậc 2. Phương trình (1) có nghiệm khi
\(\Delta=\left(P+1\right)^2-4\left(P-1\right)^2>0\) \(\Leftrightarrow-3P^2+10P-3\ge0\Leftrightarrow P^2-\dfrac{10}{3}P+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-\dfrac{5}{3}\right)^2\le\dfrac{16}{9}\Leftrightarrow-\dfrac{4}{3}\le P-\dfrac{5}{3}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le P\le3\)
+) \(P=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow x=1\)
+) \(P=3\Leftrightarrow2x^2+4x+2=0\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy Min P = \(\dfrac{1}{3}\) khi x = 1, Max P = 3 khi x = -1
Ap dụng bất đẳng thức cosy cho 3 số a+b+c\(\ge\)3\(\sqrt[3]{abc}\) thi ta có
x2-x+1\(\ge\)3\(\sqrt[3]{x^2.-x.1}\)=3.-x
x2+x+1\(\ge\)3\(\sqrt[3]{x^2}x1\)=3.x
do đó P\(\ge\)\(\dfrac{3.-x}{3.x}\)=-1
