Question

Tìm GTLN của A

A=\(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\frac{1}{A}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+1\)

áp dụng bđt Cô-si vào 2 số dương \(\sqrt{x}\) và \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) ta đc:

\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1\ge3\\ \Leftrightarrow\frac{1}{A}\ge3\\ \Leftrightarrow A\le\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

vậy tại x = 1 thì max A = \(\frac{1}{3}\)