Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Nhất Bác

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A=x+\dfrac{9}{x-1}+3\) với x>1

santa
28 tháng 12 2020 lúc 14:49

Có :\(A=x+\dfrac{9}{x-1}+3=x-1+\dfrac{9}{x-1}+4\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\dfrac{9}{x-1}}+4=10\) 

(Cô-si)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1 = \(\dfrac{9}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Vậy MinA = 10 <=> x = 4

 

Nguyễn Duy Khang
28 tháng 12 2020 lúc 14:55

\(A=x+\dfrac{9}{x-1}+3\\ =\left(x-1\right)+1+\dfrac{9}{x-1}+3\\ =x-1+\dfrac{9}{x-1}+4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

\(x-1+\dfrac{9}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\dfrac{9}{x-1}}=2\sqrt{9}=2.3=6\\ \rightarrow A\ge6+4=10\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-1=\dfrac{9}{x-1}\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=9\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=3\\x-1=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)Vậy \(GTNN\) của A là \(10\Leftrightarrow x=4\)  

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Sun Sin
Xem chi tiết
So Yummy
Xem chi tiết
Anh Lan
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết