Ta có: \(B=\frac{3y^2-4y}{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow3y^2-4y=By^2+B\)
\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)y^2+4y+B=0\)
Xét phương trình bậc 2 đối với y. Để phương trình có nghiệm thì:
\(\Delta'=2^2-B\left(B-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2-3B-4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(B-1,5\right)^2-6,25\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(B-1,5\right)^2\le2,5^2\)
\(\Rightarrow B-1,5\ge-2,5\)
\(\Leftrightarrow B\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi y = \(\frac{1}{2}\).
Vậy Min B = -1 khi y = \(\frac{1}{2}\).
Xét hiệu :
\(B+1=\frac{3y^2-4y}{y^2+1}-1\)
\(=\frac{3y^2-4y+y^2+1}{y^2+1}=\frac{\left(2y-1\right)^2}{y^2+1}\)
Vì : \(\frac{\left(2y-1\right)^2}{y^2+1}\ge0\)
Nên : \(B+1\ge0\Rightarrow B\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\)
Vậy : min \(B=-1\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=(3y^2-4y):(y^2+1)
