Question

tìm giá trị nhỏ nhất của B = \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\) biết ab=1

Answer 1

Lời giải:

ĐK: \(a,b>0\)

Ta có: \(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{2}{a+b}=b+a+\frac{2}{a+b}\)

\(=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{2}.\frac{a+b}{2}.\frac{2}{a+b}}=3\sqrt[3]{\frac{a+b}{2}}\) (theo BĐT Cô-si)

Mà cũng theo BĐT Cô-si : \(a+b\geq 2\sqrt{ab}=2\)

\(\Rightarrow B\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{2}}=3\)

Vậy \(B_{\min}=3\Leftrightarrow a=b=1\)