Question

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z ; biết rằng x ; y ; z là các số thức thỏa mãn điều kiện y² + yz + z² = 1- \(\dfrac{3x^2}{2}\)

Answer 1

Ta có \(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le B\le\sqrt{2}\)

Vậy để B đạt giá trị lớn nhất thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Để B đạt giá trị nhỏ nhất thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)

Vậy GTLN của B là \(\sqrt{2}\) và GTNN của B là \(-\sqrt{2}\)