\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4y^2-4y+1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=\left(2y-1\right)^2\)
Do vế phải là số lẻ \(\Rightarrow\) vế trái lẻ \(\Rightarrow x^2+1\) và \(x+1\) đều lẻ
Đặt \(d=ƯC\left(x+1;x^2+1\right)\Rightarrow d\) lẻ
\(x\left(x+1\right)-\left(x^2+1\right)⋮d\Rightarrow x-1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)-\left(x-1\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=1\) do d lẻ
\(\Rightarrow x+1\) và \(x^2+1\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=a^2\\x^2+1=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên tố cùng nhau và \(ab=2y-1\)
\(\Rightarrow x^2+1\) là số chính phương \(\Rightarrow x^2+1\) là số chính phương liên tiếp với \(x^2\)
Mà số chính phương liên tiếp với \(x^2\) là \(\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+1=\left(x+1\right)^2\Rightarrow x=0\)
Thay vào pt ban đầu \(\Rightarrow\left(2y-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
