Question

Tìm các số nguyên a,b,c \(\ne\)0 thỏa mãn:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}=a+b+c=3\)

Mình cần kết quả lúc 9 giờ tối nay. Giúp mình nhanh nhanh nhé!

Answer 1

Ta có : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\)

<=> \(a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0\)

<=> \(ac\left(a-c\right)+bc\left(c-b\right)+ab\left(b-a\right)=0\)

<=> \(ac\left(a-c\right)+bc\left(c-a+a-b\right)+ab\left(b-a\right)=0\)

<=> \(ac\left(a-c\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)+ab\left(b-a\right)=0\)

<=> \(c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(c-a\right)b=0\)

<=> \(\left(a-b\right)\left(b-a\right)\left(c-a\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

Hay trong 3 số a,b,c tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Mà a+b+c=3 , a,b,c nguyên và a,b,c khác 0

=> a = b = c = 1