Question

Cho các số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) với mẫu dương , trong đó \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) Chứng minh rằng :

a) ad < bc

b) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

Answer 1

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( đpcm. )

b) Vì \(b>0;d>0\) \(\Rightarrow b+d>0\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

\(\Leftrightarrow ad< bc\) (*)

Thêm \(ab\) vào \(2\) vế (*), ta có:

\(ab+ad< ba+bc\)

\(a.\left(b+d\right)< b.\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

Thêm \(cd\) vào \(2\) vế (*), ta được:

\(ad+cd< cb+cd\)

\(\left(a+c\right).d< c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:

\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) ( đpcm )

Answer 2

a)ta có \(\dfrac{a}{b}\)<\(\dfrac{c}{d}\)\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a\times d}{b\times d}\)=\(\dfrac{c\times b}{d\times b}\)\(\Rightarrow\)a\(\times\)d=c\(\times\)d\(\Rightarrow\)ad=bc

b)theo câu a ta có \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\)(1)

Thêm ab vào 2 vế của (1):ad+ab=bc+ab

a(b+d)<b(a+c)\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\)(2)

Thêm cd vào 2 vế của (1):ad+cd<bc+cd

d(a+c)<c(b+d)\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)(3)

Từ(2)và(3)\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)