Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2=4a(b+c+d)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+a^2=0\)
Dễ thấy $(a-2b)^2; (a-2c)^2; (a-2d)^2; a^2\geq 0$ với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{R}$. Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((a-2b)^2=(a-2c)^2=(a-2d)^2=a^2=0\Rightarrow a=b=c=d=0\)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn: \(a^2+c^2=b^2+d^2\). Chứng minh rằng: a+b+c+d là hợp số
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\)
Chứng minh rằng: \(b+c\le2\sqrt{2-a}\)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn:
\(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}\)
Cmr: \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2+bc}{b+ca}+\dfrac{b^2+ca}{c+ab}+\dfrac{c^2+ab}{a+bc}\ge3\)
Cho a, b,, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn b( a + c) = ac. Chứng minh rằng: a. b + 2( a + c) luôn là hợp số;
b. c + 2a luôn là hợp số.
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3\)
Cho a,b,c,d thoả mãn:
abc+bca+cda+dab = a+b+c+d+\(\sqrt{2012}\)
CMR: (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1) \(\ge\) 2012
Tìm tất cả các số thực a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện a2 + b2 + c2 = 38, a + b = 8 và
b + c ≥ 7
Cho các số a,b,c,d thỏa mãn \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}=1\).
Tính giá trị biểu thức \(S=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)
