Question

Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho: \(2^x-y^2=1\)

Giúp hộ!!!

Answer 1

Nếu \(y\) chẵn \(\Rightarrow VP\) chẵn, VT lẻ, pt vô nghiệm

Nếu \(y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k+1\) với \(k\in N\)

\(\Rightarrow2^x=\left(2k+1\right)^2+1=4k^2+4k+2\)

\(\Leftrightarrow2^{x-1}=2k^2+2k+1\)

\(\Leftrightarrow2^{x-1}=2\left(k^2+k\right)+1\)

Do \(2\left(k^2+k\right)\) chẵn \(\Rightarrow2\left(k^2+k\right)+1\) luôn là số lẻ

- Nếu \(x>1\Rightarrow2^{x-1}\) luôn là số chẵn \(\Rightarrow VP\) lẻ, \(VT\) chẵn \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

- Nếu \(x=1\Rightarrow2\left(k^2+k\right)+1=2^0=1\Rightarrow k=0\Rightarrow y=1\)

Vậy pt đã cho có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)