Question

Tìm 1 số nguyên dương y nhỏ nhất sao cho có 1 số nguyên dương x thỏa mãn:

2¹³ + 2¹⁰ + 2^x = y²

 

Answer 1

Ta có:

2¹³ + 2¹⁰ + 2^x = y²

=> 8192 + 1024 + 2^x = y²

=> 9216 + 2^x = y²

=> 96² + 2^x = y²

=> 2^x = y² - 96²

=> 2^x = (y - 96).(y + 96)

=> y - 96 và y + 96 đều là lũy thừa của 2

Do y + 96 > y - 96 nên ta giả sử y + 96 = 2^m; y - 96 = 2ⁿ (m > n)

=> 2^m - 2ⁿ = (y + 96) - (y - 96)

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = y + 96 - y + 96

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = 192

=> 192 chia hết cho 2^m-n - 1

Mà 2^m-n - 1 chia 2 dư 1

=> 2^m-n - 1 = 1 hoặc 2^m-n - 1 = 3

+ Với 2^m-n - 1 = 1 thì 2ⁿ = 192, không tìm được giá trị thỏa mãn

+ Với 2^m-n - 1 = 3 thì 2ⁿ = 64 = 2⁶

=> 2^m-n = 4 = 2²; n = 6

=> m - n = 2; n = 6

=> m = 8; n = 6

=> y = 2⁸ - 96 = 160; 2^x = (160 - 96).(160 + 96) = 16384 = 2¹⁴

=> x = 14

Vậy y = 160; x = 14