Bạn coi lại đề, số hạng thứ 2 là \(\frac{2x}{x-1}\) có vẻ ko hợp lý
ĐKXĐ: ...
\(\left(\frac{x^2}{x-1}\right)^2+\frac{2x^2}{x-1}+m=0\) (1)
Đặt \(\frac{x^2}{x-1}=t\Rightarrow x^2=t\left(x-1\right)\Leftrightarrow x^2-tx+t=0\) (2)
Khi đó pt trở thành: \(t^2+2t+m=0\) (3)
(1) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (2) và (3) đều có 2 nghiệm
Xét (2): \(\Delta=t^2-4t\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge4\\t\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) (1) có 4 nghiệm khi (3) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[{}\begin{matrix}t\ge4\\t\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'=1-m\ge0\Rightarrow m\le1\)
Khi đó theo Viet \(t_1+t_2=-2< 0\Rightarrow\) (3) có ít nhất 1 nghiệm âm
Có 2 trường hợp thỏa mãn đề bài: cả 2 nghiệm của (3) đều ko dương hoặc nghiệm dương của (3) \(\ge4\)
Th1: cả 2 nghiệm đều ko dương \(\Leftrightarrow t_1t_2=m\ge0\Rightarrow m\ge0\)
\(\Rightarrow0\le m\le1\)
Th2: (3) có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương của (3) \(t_2\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac=m< 0\\t_2=-1+\sqrt{1-m}\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\sqrt{1-m}\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-24\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}0\le m\le1\\m\le-24\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{-30;-29;...;-24;0;1\right\}\) có 9 giá trị nguyên
