a) Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{x-1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{6\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
Vì x=9 thỏa mãn ĐKXĐ nên Thay x=9 vào biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\), ta được:
\(P=\frac{\sqrt{9}-1}{\sqrt{9}+1}=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(x=4-2\sqrt{3}\)
\(=3-2\sqrt{3}\cdot1+1\)
\(=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)(nhận)
Thay \(x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\) vào biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\), ta được:
\(P=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1-1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\)(Vì \(\sqrt{3}>1>0\))
Vậy: Khi x=9 thì \(P=\frac{1}{2}\)
Khi \(x=4-2\sqrt{3}\) thì \(P=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\)
c) Để P<0 thì \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< 0\)
mà \(\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}-1< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 1\)
hay x<1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(0\le x< 1\)
Vậy: Để P<0 thì \(0\le x< 1\)
d) Để P có giá trị nguyên thì \(\sqrt{x}-1⋮\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1-2⋮\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow-2⋮\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)(Vì \(\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\)(vì \(x\ne1\))
hay x=0(nhận)
Vậy: Để P nguyên thì x=0
