Lời giải:
Biểu thức có GTLN chứ không có GTNN bạn nhé. Nếu tìm GTLN thì làm như sau:
\(a+b+c=abc\)
\(\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)
\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=a^2bc+bc\)
\(\Rightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\) (theo BĐT AM-GM)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy GTLN là $\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
