Question

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}(1)\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4(2)\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\((1)\Leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2}=8\sqrt{2}-\sqrt{2xy}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=128+2xy-32\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2=128+4xy-32\sqrt{xy}(*)\)

Lại có: \((2)\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=16\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t(t\geq 0)\Rightarrow x+y=16-2t\)

Do đó thay vào $(*)$: \((16-2t)^2=128+4t^2-32t\)

\(\Leftrightarrow 128=32t\rightarrow t=4\) \(\rightarrow xy=16\)

\(x+y=16-2t=8\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt \(X^2-8X+16=0\Leftrightarrow (X-4)^2=0\)

Do đó \(x=y=4\) là nghiệm của hệ phương trình.

Answer 2

Dùng bất đi cho nó ngắn.