Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+y=a\\ xy=b\end{matrix}\right.\). HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a\left(1+\frac{1}{b}\right)=5\\ (a^2-2b)\left(1+\frac{1}{b^2}\right)=49\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\left(1+\frac{1}{b}\right)=5\\ \left(a+\frac{a}{b}\right)^2-2\left(\frac{a^2}{b}+b+\frac{1}{b}\right)=49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+b+\frac{1}{b}=\frac{25-49}{2}=-12\)
Thay \(a=\frac{5}{1+\frac{1}{b}}\), ta thu được:
\(\frac{5b}{(b+1)^2}+\frac{b^2+1}{b}=-12\Leftrightarrow \frac{25b}{(b+1)^2}+\frac{(b+1)^2}{b}=-10\)
Đặt \(\frac{b}{(b+1)^2}=t\Rightarrow 25t+\frac{1}{t}+10=0\)
Giải PT trên ta thu được \(\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{-1}{5}\Rightarrow b^2+7b+1=0\)
Từ đây dễ dàng thu được giá trị của \((a,b)\) lần lượt là:
\(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2},b=\dfrac{-7+3\sqrt{5}}{2}\\a=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2},b=\dfrac{-7-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Sử dụng định lý viete đảo, hai nghiệm $x,y$ là nghiệm của PT:
\(\left\{\begin{matrix} m^2-\frac{5-3\sqrt{5}}{2}m+\frac{-7+3\sqrt{5}}{2}=0\\ m^2 -\frac{5+3\sqrt{5}}{2}m+\frac{-7-3\sqrt{5}}{2}=0\end{matrix}\right.\)
Giải PT trên ta có \((x,y)=\left ( -1,\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2} \right )\) vá các hoán vị của nó.
P/s: Nghiệm quá xấu
