Lời giải:
ĐKXĐ:.................
Đặt $\sqrt{2-x}=a; \sqrt{2y-1}=b(a,b\geq 0)$
PT$(1)\Leftrightarrow (a^2+1)a=(b^2+1)b$
$\Leftrightarrow a^3+a-b^3-b=0$
$\Leftrightarrow (a^3-b^3)+(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$
Dễ thấy: $a^2+ab+b^2+1=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2+1>0$
Do đó: $a-b=0\Rightarrow a^2-b^2=0$
$\Leftrightarrow 2-x=2y-1\Leftrightarrow x=3-2y$. Thay vào PT $(2)$ ta có:
\(\sqrt{3-2y+2}+2\sqrt{y+2}=5\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{5-2y}-1)+2(\sqrt{y+2}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(2-y)}{\sqrt{5-2y}+1}+2.\frac{y-2}{\sqrt{y+2}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(y-2)\left[\frac{1}{\sqrt{y+2}+2}-\frac{1}{\sqrt{5-2y}+1}\right]=0\)
Với $y\geq \frac{1}{2}$ thì $\sqrt{y+2}+2>\sqrt{2}+2>3$
$\sqrt{5-2y}+1\leq \sqrt{5-1}+1=3$
Do đó: $\frac{1}{\sqrt{y+2}+2}-\frac{1}{\sqrt{5-2y}+1}\neq 0$
$\Rightarrow y-2=0\Leftrightarrow y=2$
$x=3-2y=-1$
