Lời giải:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\geq 3(ab+bc+ac)\geq 0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2-2ab)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$
(luôn đúng)
Ta có đpcm.
Dấu'=" xảy ra khi $a=b=c$
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 chứng minh rằng
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt{3}\left(ab+bc+ca\right)\)
chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Cho a, b, c là các số thực dương:
CMR: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
cho 3 số thực dương a,b,c.CMR
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge9\left(ab+bc+ca\right)\)
cho a,b,c là số thực dương. Cmr:
1.\(\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\)
2.\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mản \(a^2+b^2+c^2=3\)
CMR: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+2\ge\dfrac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\)
Cho \(a;b;c\ge0\) và không có hai số cùng bằng 0.CMR:
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{9\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge5\)
Cho các số dương a,b,c biết ab+bc+ca=3
Tìm GTNN của \(\frac{1}{b\left(a+b\right)}+\frac{1}{c\left(b+c\right)}+\frac{1}{a\left(c+a\right)}\)
