Giải như sau:
Do \(\cos^2x+\sin^2x=1,\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x},\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) nên ta có
\(\int\frac{dx}{\cos^2x.sin^2x}=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=\int d\left(\tan x\right)-\int d\left(\cot x\right)=\tan x-\cot x+c\)
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^4x.\cos xdx\)
a) \(\int sin^2\frac{x}{2}dx\)
b) \(\int cos^2\frac{x}{2}dx\)
c) \(\int\frac{2x+1}{x^2+x+5}dx\)
d) \(\int\left(2tanx+cotx\right)^2dx\)
Tính tích phân :
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos2x+3\cos x+2}dx\)
Tính nguyên hàm của các hàm sau:
1. \(\int sin^2\)\(\dfrac{x}{2}\) dx
2. \(\int cos^23x\) dx
3. \(\int4cos^2\dfrac{x}{2}\) dx
a) \(\int sin2x.cosxdx\)
b) \(\int tanxdx\)
c) \(\int\dfrac{sinx}{1+3cosx}dx\)
d) \(\int sin^3xdx\)
e) \(\int sin^2xdx\)
f) \(\int cos^23x\)
g) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{sin^2x.cos^2x}\)
h) \(f\left(x\right)=\dfrac{cos2x}{sin^2x.cos^2x}\)
i) \(\int2sin3x.cos2xdx\)
j) \(\int e^x\left(2+\dfrac{e^{-x}}{cos^2x}\right)dx\)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(\int\cos\left(x\right)^{\sin\left(x\right)}dx\)
b) \(\int\frac{\sqrt{x}}{4-x^2}dx\)
c) \(\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx\)
d) \(\int\ln\left(\ln\left(x\right)\right)dx\)
Tìm các nguyên hàm sau đây
a) \(I_1=\int e^{2x}\sin3xdx\)
b) \(I_2=\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx\)
c) \(I_2=\int e^{3x}\cos\left(e^x\right)d\)
Câu 1: Gọi nguyên hàm của hàm số \(\int\frac{sin\left(x\right)}{sin\left(x\right)+cos\left(x\right)}dx\) có dạng \(ax+bln\left|sin\left(x\right)+cos\left(x\right)\right|+C\) (a,b là các số hữu tỉ) và nguyên hàm của hàm số \(\int cos^2\left(x\right)dx\) có dạng \(cx+\frac{1}{2d}sin\left(dx\right)+C\) ( c,d là các số hữu tỉ) . Khi này tính \(I=2a-2b+2c+d\) bằng
a) 4
b) 5
c) \(\frac{3}{2}\)
d) \(\frac{25}{4}\)
Câu 2. Cho hàm số \(f\left(x\right)=sin\left(ln\left(x\right)\right)\) và \(g\left(x\right)=cos\left(ln\left(x\right)\right)\)
a) Tích nguyên hàm của \(\int\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\)
b) Biết \(\int\limits^{e^{\pi}}_1f\left(x\right)dx=\frac{1}{a}\left(e^b+c\right)\) . Tính \(\left(a-c\right)^2\cdot b\)
Câu 3: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) thoả mản điều kiện \(f\left(2020x+2019\right)=2020f\left(x\right),\forall x\in R.\) Tính tích phân \(\int\limits^1_03\left[f\left(x\right)\right]^2dx\) bằng
a) \(\frac{7}{3}\left[f\left(1\right)\right]^2\)
b) \(\frac{3}{7}\left(f\left(1\right)\right)^2\)
c) \(7\left[f\left(-1\right)\right]^2\)
d\(\frac{3}{7}\left[f\left(-1\right)\right]^2\)
Cho \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{a-2}\cos\left(x\right)^{\sin x}dx=a\) và \(\int\limits^{\pi}_{a-2}\sqrt{\tan\left(x\right)}dx=2a-4\) ( với a là số nguyên dương ). Khi này tính: \(\int\limits^{a+2}_{a-2}\ln\left(x\right)dx\) bằng:
a) \(2\ln4-4\)
b) \(4\ln4-4\)
c) \(4\ln2-4\)
d) \(4\ln2-2\)
