Question

hàm số y=ax+b có đồ thị là đường thẳng (d). Biết (d) đi qua điểm M(2;3) sao cho khoảng cách từ O tới đường thẳng (d) là lớn nhất Tính T = 3a+2b

Answer 1

Lời giải:

Giả sử $(d)$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$

$y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{y_A-b}{a}=\frac{-b}{a}$

$\Rightarrow OA=|x_A|=|\frac{-b}{a}|$

$x_B=0\Rightarrow y_B=ax_B+b=a.0+b=b$

$\Rightarrow OB=|y_B|=|b|$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, nếu gọi khoảng cách $d(O,(d))=d(O,AB)=h$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{a^2+1}{b^2}(1)$
Mặt khác: $(d)$ đi qua $M(2,3)$ nên: $3=2a+b\Rightarrow a=\frac{b-3}{2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{b^2-6b+13}{4b^2}

$=\frac{1}{4}-\frac{3}{2b}+\frac{13}{4b^2}$
$=13(\frac{1}{2b}-\frac{3}{26})^2+\frac{1}{13}\geq \frac{1}{13}$

$\Rightarrow h^2\leq 13$

$\Rightarrow h\leq \sqrt{13}$

Vậy $h_{\max}=\sqrt{13}$ khi $\frac{1}{2b}=\frac{3}{26}\Leftrightarrow b=\frac{13}{3}$

Với $b=\frac{13}{3}$ thì $a=\frac{b-3}{2}=\frac{2}{3}$

$T=3a+2b=\frac{32}{3}$