Question

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) sao cho thỏa điều kiện \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . CMR: \(\sin^2A+\cos^2B=1\)

Answer 1

Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)

Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó, tam giác $ABC$ đều.

\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)

Answer 2

Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)

Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó, tam giác $ABC$ đều.

\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)