Lời giải:
Vì \((SBC)\perp (ABC)\) nên từ $S$ hạ đường cao $SH$ xuống cạnh $BC$ thì $SH$ chính là đường cao của hình chóp.
Do tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên dễ tính được \(SH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \angle ABC=\frac{BA}{BC}=\frac{BA}{a}\Rightarrow BA=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
\(\frac{1}{2}=\sin \angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}\)
Do đó, \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.SH.\frac{AB.AC}{2}=\frac{a^3}{16}\)
Từ $H$ kẻ \(HK\perp AB\), lấy \(HT\perp SK\) tại $T$
Khi đó, \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ HK\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow (SHK)\perp AB\rightarrow HT\perp AB\)
Mà \(HT\perp SK\) nên suy ra \(HT\perp (AB,SK)\Leftrightarrow HT\perp (SAB)\)
Như vậy \(HT=d(H,(SAB))=\sqrt{\frac{SH^2.HK^2}{SH^2+HK^2}}\)
Biết \(SH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\); \(HK=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{4}\)
\(\Rightarrow HT=\frac{\sqrt{39}a}{26}\)
Có \(d(C,(SAB))=2d(H,(SAB))=2HT=\frac{\sqrt{39}a}{13}\)
