6 7 8
Bài 30:
a) Điều kiện \\(x>1; x-1\\neq 1\\)
\\((x-4)^2\\log_4(x-1)-2\\log_4(x-1)^2=(x-4)^2\\log_{x-1}4-2\\log_{x-1}16\\)
\\(\\Leftrightarrow (x-4)^2\\log_4(x-1)-4\\log_4(x-1)=(x-4)^2\\log_{x-1}4-4\\log_{x-1}4\\)
\\(\\Leftrightarrow \\log_4(x-1)[(x-4)^2-4]=\\log_{x-1}4[(x-4)^2-4]\\)
\\(\\Leftrightarrow (x-6)(x-2)[\\log_4(x-1)-\\log_{x-1}4]=0\\)
\\(\\Leftrightarrow \\)\\(\\left[{}\\begin{matrix}x=6\\\\x=2\\\\\\log_{x-1}4=\\log_4\\left(x-1\\right)\\left(\\cdot\\right)\\end{matrix}\\right.\\) (loại th x=2 vì \\(x-1\\neq 1\\) )
Xét \\((*)\\)
Ta có: \\(\\log_4(x-1)=\\log_{x-1}4\\Rightarrow [\\log_4(x-1)]^2=\\log_4(x-1).\\log_{x-1}4=\\log_44=1\\)
\\(\\Rightarrow \\log_4(x-1)=\\pm 1\\Rightarrow x-1=4^{\\pm 1}\\Rightarrow x=5; x=\\frac{5}{4}\\)
Vậy \\(x\\in \\left\\{\\frac{5}{4};5;6\\right\\}\\)
b) Điều kiện: \\(x>2; x-2\\neq 1\\)
\\(2\\log_3(x-2)^2+(x-5)^2\\log_{x-2}3=2\\log_{x-2}9+(x-5)^2\\log_3(x-2)\\)
\\(\\Leftrightarrow 4\\log_3(x-2)+(x-5)^2\\log_{x-2}3=4\\log_{x-2}3+(x-5)^2\\log_3(x-2)\\)
\\(\\Leftrightarrow 4[\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3]-(x-5)^2[\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3]=0\\)
\\(\\Leftrightarrow [\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3](7-x)(x-3)=0\\)
\\(\\Rightarrow\\left[{}\\begin{matrix}x=7\\\\x=3\\\\\\log_3\\left(x-2\\right)=\\log_{x-2}3\\left(1\\right)\\end{matrix}\\right.\\) (loại x=3 vì \\(x-2\\neq 1\\))
Xét \\((1)\\Rightarrow [\\log_3(x-2)]^2=\\log_3(x-2).\\log_{x-2}3=\\log_33=1\\)
\\(\\Leftrightarrow \\log_3(x-2)=\\pm 1\\Rightarrow x-2=3^{\\pm 1}\\Leftrightarrow x=5; x=\\frac{7}{3}\\)
Vậy \\(x\\in \\left\\{\\frac{7}{3};5;7\\right\\}\\)
Bài 31:
a) ĐK:.......
\\(log_2^2x+x\\log_7(x+3)=\\log_2x\\left(\\frac{x}{2}+2\\log_7(x+3)\\right)\\)
\\(\\Leftrightarrow \\log_2x[\\log_2x-\\frac{x}{2}]+\\log_7(x+3)(x-2\\log_2x)=0\\)
\\(\\Leftrightarrow (2\\log_2x-x)\\left(\\frac{\\log_2x}{2}-\\log_7(x+3)\\right)=0\\)
TH1: \\(2\\log_2x-x=0\\Leftrightarrow \\log_2x=\\frac{x}{2}\\)
Pt này thực chất phải sử dụng hàm trong toán cao cấp (không học ở thpt ) để giải, còn nghiệm thông thường là \\(x=2;4\\)
TH2: \\(\\log_2x=2\\log_7(x+3)\\)
Đặt \\(\\log_2x=2\\log_7(x+3)=2t\\Rightarrow x=4^t; x+3=7^{t}\\)
\\(\\Rightarrow 7^t-4^t=3\\Leftrightarrow 7^t=4^t+3\\)
Nếu \\(t>1\\Rightarrow 7^t< 4^t+3^t\\Leftrightarrow 1< (\\frac{4}{7})^t+(\\frac{3}{7})^t\\)
Vì \\(\\frac{4}{7};\\frac{3}{7}<1; t>1 \\Rightarrow (\\frac{4}{7})^t< \\frac{4}{7}; (\\frac{3}{7})^t< \\frac{3}{7}\\Rightarrow (\\frac{4}{7})^t+(\\frac{3}{7})^t<1 \\) (vô lý)
Tương tự với \\(t<1\\Rightarrow t=1\\Rightarrow x=4\\)
Vậy \\(x\\in \\left\\{2;4\\right\\}\\)
b)
Đặt \\(\\log_2x=a\\Rightarrow x^2-x(9-a)+8+6a-2a^2=0\\)
\\(\\Leftrightarrow x^2+x(a-9)+(8+6a-2a^2)=0\\)
Xét delta của pt bậc 2 ẩn x ta thấy \\(\\Delta=(3a-7)^2\\Rightarrow \\) \\(\\left[{}\\begin{matrix}x=2a-8\\left(1\\right)\\\\x=-\\left(a+1\\right)\\left(2\\right)\\end{matrix}\\right.\\)
TH (1): \\(\\Leftrightarrow 2^a=2a-8\\) (từ đây suy ra \\(a>4\\) )
\\(\\Leftrightarrow 2^a-2a=-8\\)
Ta thấy \\((2^a-2a)\'=\\ln 2.2^a-2>\\ln 2.2^4-2>0\\) nên là hàm đồng biến với mọi \\(a>4\\)
\\(\\Rightarrow 2^a-2a> 2^4-2.4>-8\\), do đó pt vô nghiệm
TH (2): \\(x=-(a+1)\\Leftrightarrow 2^a+a=-1\\)
Ta thấy \\((2^a+a)\'=\\ln 2.2^a+1>0\\), do đó hàm đồng biến
-1 là hàm hằng
Do đó pt chỉ có duy nhất một nghiệm \\(a\\approx -1,38\\Rightarrow x=0,38\\)
Bài 2:
\(\log_4x .(x+2).\log_x2=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{\log_2x}{2}.(x+2).\log_x2=1\)
\(\Leftrightarrow \log_2x.\log_x2.(x+2)=2\)
\(\Leftrightarrow \log_22.(x+2)=2\Leftrightarrow (x+2)=2\Leftrightarrow x=0\) (vô ly vì \(x>0\) )
Vậy pt vô nghiệm
Bài 4: Điều kiện: \(x>0; x\neq 1\)
\(x\log_{\sqrt{x}}16.\log_2x^2=x^2+15\)
\(\Leftrightarrow x.2\log_x16.\log_2x^2=x^2+15\)
\(\Leftrightarrow 8x\log_x2.2\log_2x=x^2+15\)
\(\Leftrightarrow 16x(\log_x2.\log_2x)=x^2+15\)
\(\Leftrightarrow 16x=x^2+15\Leftrightarrow x=1\) (loại )hoặc \(x=15\) (chọn)
Bài 5:
\((\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}-2)\log_2(x^2-x)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\left(1\right)\\\log_2\left(x^2-x\right)=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-\frac{3}{2})+(\sqrt{x-1}-\frac{1}{2})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-\frac{5}{4}}{\sqrt{x+1}+\frac{3}{2}}+\frac{x-\frac{5}{4}}{\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-\frac{5}{4})\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\frac{3}{2}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}}\right)=0\)
Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn 0, do đó \(x-\frac{5}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\) (thỏa mãn)
Xét (2)
\(\log_2(x^2-x)=0\Leftrightarrow x^2-x=1\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (chọn) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) (loại vì \(x\geq 1\))
Vậy.......
Bài 6:
\(\lg^4(x-1)^2+\lg^2(x-1)^3=25\)
\(\Leftrightarrow [2\lg(x-1)]^4+[3\lg(x-1)]^2=25\)
Đặt \([\lg(x-1)]^2=t\Rightarrow 16t^2+9t=25\)
\(\Leftrightarrow t=1\)hoặc \(t=\frac{-25}{16}\) (loại vì \(t\geq 0\))
\(\Rightarrow \lg(x-1)=\pm 1\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}x-1=10\\x-1=\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=11\\x=\dfrac{11}{10}\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)
Bài 7:
\(x+\log_2(9-2^x)=3\Leftrightarrow \log_2(9-2^x)=3-x\)
\(\Leftrightarrow 9-2^x=2^{3-x}\)
\(\Leftrightarrow 2^x+2^{3-x}=9\)
\(\Leftrightarrow 2^x+\frac{8}{2^x}=9\Leftrightarrow 2^{2x}-9.2^x+8=0\)
\(\Leftrightarrow (2^x-1)(2^x-8)=0\)
TH1: \(2^x-1=0\Leftrightarrow 2^x=1\Rightarrow x=0\) (t/m)
TH2: \(2^x-8=0\Leftrightarrow 2^x=8\Rightarrow x=3\)(t/m)
Bài 8: không nhìn thấy đề.
