Lời giải:
Với $x=0\Rightarrow y=0$ hoặc $y=1$
Với $y=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$
Với $x,y\neq 0$
PT $\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x^2-xy+y^2)+43xy$
$\Leftrightarrow (x^2-xy+y^2)(x+y-1)=43xy$
Gọi $d$ là ƯCLN của $x,y$. Đặt $x=dm, y=dn$ với $(d\in\mathbb{Z^+}; m,n\in\mathbb{Z}$ và $(m,n)=1$
Khi đó PT trở thành:
$(d^2m^2-dmdn+d^2n^2)(dm+dn-1)=43dmdn$
$\Leftrightarrow (m^2-mn+n^2)(dm+dn-1)=43mn(*)$
Với $(m,n)=1$ dễ chứng minh $(m^2-mn+n^2,m)=(m^2-mn+n^2,n)=1$
Do đó $m^2-mn+n^2=1(1)$ hoặc $m^2-mn+n^2=43(2)$
TH1: $m^2-mn+n^2=1$
$\Leftrightarrow m^2-mn+n^2-1=0$
Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta=n^2-4(n^2-1)=4-3n^2$ là scp
$\Rightarrow 4-3n^2\geq 0\Rightarrow -1\leq n\leq 1
Thử $n=-1\rightarrow m=-1$. Thay vào $(*)$ suy ra $-2d-1=43\Rightarrow d=-22< 0$ (loại)
Thử $n=1\Rightarrow m=1$. Thay vào $(*)$ suy ra $2d-1=43\Rightarrow d=22$
$\Rightarrow x=y=22$
TH2: $m^2-mn+n^2=43$. Tương tự TH1 thì $\Delta=172-3n^2$ là scp
$\Rightarrow 172-3n^2\geq 0\Rightarrow -7\leq n\leq 7$
Tiếp tục thử các TH sẽ tìm ra kết quả.
