Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N\right)\)
Thì ta có:
\(a^4+b^4=2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2+4b^2-2a^2b-2b^2a-2a^3-2b^3=0\)
Xét \(\left\{{}\begin{matrix}a>4\\b>4\end{matrix}\right.\) ta có:
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+8a^2+8b^2-4a^2b-4b^2a-4a^3-4b^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-4a^2b+4b^2\right)+\left(b^4-4ab^2+4a^2\right)+\left(b^4-4b^3\right)+\left(a^4-4a^3\right)+4a^2+4b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2b\right)^2+\left(b^2-2a\right)^2+b^3\left(b-4\right)+a^3\left(a-4\right)+4a^2+4b^2=0\)
Dễ thấy VT > 0.
\(\Rightarrow\) Trong 2 số a, b phải có ít nhất 1 số không lớn hơn 4.
TH 1: Số không lớn hơn 4 là a.
\(\Rightarrow a=0,1,2,3,4\) thế vô ta tìm được b.
TH 2: Số không lớn hơn 4 là b. Tương tự.
Kết hợp 2 trường hợp ta có bộ nghiệm là:....
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N\right)\)
Thì ta có:
\(a^4+b^4=2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2+4b^2-2a^2b-2b^2a-2a^3-2b^3=0\)
Xét \(\left\{{}\begin{matrix}a>4\\b>4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+8a^2+8b^2-4a^2b-4b^2a-4a^3-4b^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-4a^2b+4b^2\right)+\left(b^4-4ab^2+4a^2\right)+\left(b^4- 4b^3\right)+\left(a^4-4a^3\right)+4a^2+4b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2b\right)^2+\left(b^2-2a\right)^2+b^3\left(b- 4\right)+a^3\left(a-4\right)+4a^2+4b^2=0\)
Dễ thấy VT > 0.
\(\Rightarrow\) Trong 2 số a, b phải có ít nhất 1 số không lớn hơn 4.
TH 1: Số không lớn hơn 4 là a.
\(\Rightarrow a=0,1,2,3,4\) thế vô ta tìm được b.
TH 2: Số không lớn hơn 4 là b. Tương tự.
Kết hợp 2 trường hợp ta có bộ nghiệm là:....
