Question

Giải phương trình

\(\left|x+5\right|-\left|1-2x\right|=x\)

Chứng minh bất đẳng thức

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

Thu gọn biểu thức

\(P=\left(\dfrac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\dfrac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)

Answer 1

1. \(\left|x+5\right|-\left|1-2x\right|=x\left(1\right)\)

Với phương trình kiểu này thì phải lập bảng để xét dấu của x+5 và 1-2x ta có nghiệm của hai nhị thức để chúng bằng 0 lần lượt là -5 và 0,5. Bảng xét dấu:

Ứng với bảng ta có 3 khoảng giá trịn của x ứng với ba phương trình sau.

* Với \(x< -5\) (khoảng đầu)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow-x+2x-x=5+1\\ \Leftrightarrow0x=6\)

Phương trình vô nghiệm.

* Với \(-5\le x\le0,5\) (khoảng giữa)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow x+2x-x=1-5\\ \Leftrightarrow x=-2\)

\(x=-2\) thỏa mãn điều kiện nên ta lấy.

* Với \(x>0,5\) (khoảng cuối)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(2x-1\right)=x\\ \Leftrightarrow x-2x-x=-5-1\\\Leftrightarrow x=3 \)

\(x=3\) thỏa nãm điều kiện nên ta lấy.

Kết luận tập nghiệm của phương trình (1) là: \(S=\left\{-2;3\right\}\)

Answer 2

Chứng minh bất đẳng thức:

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\\ \Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab_{ }+b^2\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\)

Vì BĐT (2) luôn đúng với mọi a,b do đó ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

Answer 3

2.

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)\le0\\ \Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\\ \Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)) nên bất đẳng thức đầu luôn đúng với mọi a, b.