Bài này tương đối mệt và oái oăm nếu không sử dụng máy tính.
Ta có:
\((x^2+x+2)^2-(x+1)^2=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+x+2-x-1)(x^2+x+2+x+1)=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\)
\(\Rightarrow (x^2+1)[(x^4-x^2+1)-(x^2+2x+3)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^4-2x^2-2x-2)=0\)
\(\Rightarrow x^4-2x^2-2x-2=0\) (do \(x^2+1\geq 1>0\) với mọi x)
\(\Leftrightarrow x^4=2x^2+2x+2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^2a+a^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)
\(\Leftrightarrow (x^2+a)^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)
Ta phải tìm $a$ sao cho biểu thức vế phải cũng là một bình phương của một đa thức, tức là \((2+2a)x^2+2x+(a^2+2)=g^2(x)\)
Khi đó: \((x^2+a)^2=g^2(x)\Rightarrow (x^2+a-g(x))(x^2+a+g(x))=0\)
Lúc đó ta chuyển về giải pt bậc 2 đơn giản.
Tìm a
Để \((2a+2)x^2+2x+(a^2+2)=g^2(x)\) thì \(\Delta'=1-(a^2+2)(2a+2)=0\)
\(\Rightarrow 2a^3+2a^2+4a+3=0\)
Đến đây sử dụng pp Cardano , đặt \(a=k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3}\). PT trở thành:
\(2(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})^3+2(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})^2+4(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})+3=0\)
\(\Leftrightarrow 2k^3-\frac{250}{729k^3}+\frac{49}{27}=0\)
Đặt \(k^3=t\Rightarrow 2t-\frac{250}{729t}+\frac{49}{27}=0\)
\(\Rightarrow 1458t^2+1323t-250=0\Rightarrow t=-\frac{49}{108}\pm \frac{\sqrt{489}}{36}\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{\frac{-49}{108}\pm \frac{\sqrt{489}}{36}}\approx -0,81198\)
Thay giá trị $k$ ở trên vào \( a=k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3}\) tìm được a.
