Question

giải phương trình
\(\left(\sqrt{2-x}+1\right)\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\right)=4\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(1\le x\le2\)

Do \(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}>0\) \(\forall x\in\left[1;2\right]\), nhân cả 2 vế với \(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\) phương trình trở thành:

\(\sqrt{2-x}+1=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\)

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\sqrt{2-x}\le1\Rightarrow VT\le2\)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\ge\sqrt{2x+2}\ge2\Rightarrow VP\ge2\)

\(\Rightarrow VP\ge VT\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2-x}+1=2\\\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)