ĐKXĐ: \(\left|x\right|>1\).
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\left(1\right)\\y+\frac{y}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{35}{12}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\).
Tương tự ta có: \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\).
Trừ vế với vế của hai đẳng thức trên ta có: \(2x=-2y\Leftrightarrow y=-x\).
Thay vào (2) ya có:
\(-x+\frac{-x}{\sqrt{x^2-1}}=-\frac{35}{12}\Leftrightarrow x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}\Leftrightarrow\frac{12x}{\sqrt{x^2-1}}=35-12x\)
\(\Leftrightarrow\frac{12x}{35-12x}=\sqrt{x^2-1}\) (Do \(x=\frac{35}{12}\) không là nghiệm của phương trình)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{12x}{35-12x}\ge0\\\frac{144x^2}{1225+144x^2-840x}=x^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{12x}{35-12x}\ge0\\144x^4-840x^3+937x^2+840x-1225=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{12x}{35-12x}\ge0\\\left(3x-5\right)\left(4x-5\right)\left(12x^2-35x-49\right)=0\end{matrix}\right.\).
Đến đây dễ rồi.
Sau khi tìm ra \(y=-x\), thế xuống dưới:
\(\Leftrightarrow x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}\)
- Với \(x< -1\) vế trái âm pt vô nghiệm
- Với \(x>1\) bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{x^2}{x^2-1}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1225}{144}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{x^2-1}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1225}{144}=0\)
Đặt \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2+2t-\frac{1225}{144}=0\)
Thế này thì đỡ phải giải pt bậc 4, tính toán ngắn hơn 1 chút xíu
