Question

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+y=0\\y^2+y+x=0\end{matrix}\right.\)

Answer 1

đặt : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+y=0\left(1\right)\\y^2+y+x=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\) quế theo quế ta có : \(x^2+x+y-\left(y^2+y+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+y-y^2-y-x=0\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

trường hợp 1 \(x=y\) ta có pương trình \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+x+x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=0\Leftrightarrow x\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

*) ta có : \(x=0\Rightarrow y=0\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)

*) ta có : \(x=-2\Rightarrow y=-2\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-2;-2\right)\)

trường hợp 2 \(x=-y\) ta có pương trình \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+x-x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

*) ta có : \(x=0\Rightarrow y=-0=0\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\) trùng với nghiệm trên

vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(-2;-2\right)\)

Answer 2

Theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+y=0\\y^2+y+x=0\end{matrix}\right.\)

Lấy pt(1) trừ pt(2) ta có:

\(x^2+x+y-y^2-y-x=0\)

\(\Rightarrow x^2-y^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

Answer 3