Question

Giải các phương trình sau :

a) \(\tan\left(2x+1\right)\tan\left(3x-1\right)=1\)

b) \(\tan x+\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)

Answer 1

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1 ⇔ = 1.

Với điều kiện cos(2x + 1)cos(3x - 1) ≠ 0 phương trình tương đương với

cos(2x + 1)cos(3x - 1) - sin(2x + 1)sin(3x - 1) = 0

⇔ cos(2x + 1 + 3x - 1) = 0 ⇔ 5x = + k π ⇔ x = + , k ∈ Z.

Cần chọn các k nguyên để x = + không thỏa mãn điều kiện của phương trình (để loại bỏ). Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp sau:

(i) x = + làm cho cos(2x + 1) = 0, tức là

cos[2( + ) + 1] = 0 ⇔ + 1 = + lπ, (l ∈ Z)

⇔ π( - ) = 1 ⇔ π = , suy ra π ∈ Q, vô lí.

Vì vậy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(2x + 1) = 0.

(ii) x = + làm cho cos(3x - 1) = 0. Tương tự (i),ta cũng thấy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(3x - 1) = 0.

Vậy ∀ k ∈ Z, x = + đều là nghiệm của phương trình đã cho.

b)Đặt t = tan x, phương trình trở thành

t + = 1 ⇔ -t^{2 +} 3t = 0 (điều kiện t ≠ 1) ⇔ t = 0 hoặc t = 3 (thỏa mãn)

Vậy tan x = 0 ⇔ x = kπ

tan x = 3 ⇔ x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z)