Question

Dùng biểu thức liên hợp:

a)\(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}=2x-4\). f)\(3\sqrt{x+1}+3\sqrt{x-1}=4x+1\).

b)\(\sqrt{2x^2-3x+10}+\sqrt{2x^2-5x+4}=x+3\).

c)\(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\).

d)\(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}.\)

e)\(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-3}=\sqrt{2x^2-x-2}-\sqrt{2x^2+1}\)

Answer 1

a) ĐK: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}=2x-4\)

\(\Leftrightarrow \frac{(2x-1)-(x+1)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}-2\right)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\leftrightarrow x=2\\ \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(*)\end{matrix}\right.\)

Đối với $(*)$:

Vì \(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}\geq \sqrt{\frac{1}{2}+1}>1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}< 1\)

Do đó $(*)$ vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Answer 2

b) ĐK:.....

\(\sqrt{2x^2-3x+10}+\sqrt{2x^2-5x+4}=x+3\)

TH1:

\(\sqrt{2x^2-3x+10}=\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Rightarrow 2x^2-3x+10=2x^2-5x+4\)

\(\Rightarrow 2x+6=0\Rightarrow x=-3\) (thử lại thấy không thỏa mãn)

TH2: \(\sqrt{2x^2-3x+10}\neq \sqrt{2x^2-5x+4}\), tức là \(x\neq -3\)

PT ban đầu tương đương với:

\(\frac{(2x^2-3x+10)-(2x^2-5x+4)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2(x+3)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=1\) (do \(x\neq -3\) )

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}=2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}=2+\sqrt{2x^2-5x+4}\)

Bình phương 2 vế:

\(2x^2-3x+10=4+2x^2-5x+4+4\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Rightarrow (x+1)^2=4(2x^2-5x+4)\)

\(\Rightarrow 7x^2-22x+15=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{15}{7}\\ x=1\end{matrix}\right.\) (thử đều thấy t/m)

Vậy...........

 

 

 

Answer 3

c) ĐK: \(-2\leq x\leq 3\)

Ta có: \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)-(\sqrt{3-x}-1)=x^2-6x+8\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{(3-x)-1}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(x-4)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-(x-4)\right]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\rightarrow x=2\\ \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}=x-4(*)\end{matrix}\right.\)

Đối với $(*)$. Ta thấy vế trái luôn lớn hơn $0$, vế phải nhỏ hơn $0$ do $x\leq 3$ nên $(*)$ vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Answer 4

d) ĐK: \(x\geq 1\)

Ta có:

\(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{5}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}=5\sqrt{x-1}+5\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x-1}+(\sqrt{9x}-\sqrt{x+8})+(\sqrt{4x}-\sqrt{x+3})=0\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x-1}+\frac{8(x-1)}{\sqrt{9x}+\sqrt{x+8}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{4x}+\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(5+\frac{8\sqrt{x-1}}{\sqrt{9x}+\sqrt{x+8}}+\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{4x}+\sqrt{x+3}})=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn $0$ với mọi $x\geq 1$

Do đó $\sqrt{x-1}=0$ suy ra $x=1$

Answer 5

e)

\(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-3}=\sqrt{2x^2-x-2}-\sqrt{2x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2+x-(x^2-3)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{(2x^2-x-2)-(2x^2+1)}{\sqrt{2x^2-2}+\sqrt{2x^2+1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{-(x+3)}{\sqrt{2x^2-2}+\sqrt{2x^2+1}}\)

\(\Rightarrow (x+3)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2-x-2}+\sqrt{2x^2+1}}\right)=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Do đó \(x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy.......