i chết !!! câu này có người đăng ù -_@ thôi xí xóa nha . bỏ bỏ không chơi câu này nữa .
cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)n1+nx với mọi số nguyên dương n
1 câu trả lời Toán lớp 11 Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhânPhương pháp quy nạp toán học
ngonhuminh CTV21 tháng 2 2017 lúc 8:35
Giao lưu:
(I)
x>−1⇒(1+x)>1⇒(1+x)n>1voi∀n∈Nx>−1⇒(1+x)>1⇒(1+x)n>1voi∀n∈N
với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0
⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩n=1⇒(1+x)1≥(1+x)...{dung}n=2⇒(1+x)2≥(1+2x)...{dung}n=2⇒(1+x)3≥(1+3x)...{dung}{n=1⇒(1+x)1≥(1+x)...{dung}n=2⇒(1+x)2≥(1+2x)...{dung}n=2⇒(1+x)3≥(1+3x)...{dung}
C/m bằng phản chứng:
Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)
Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)
Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .
với n=k ta có: (1+x)k≥(1+kx)(1+x)k≥(1+kx) (1) theo (*)
vói n=(k+1) ta có theo (**)
(1+x)k+1≤[1+(k+1)x]⇔(1+x)(1+x)k≤[1+kx+x](1+x)k+1≤[1+(k+1)x]⇔(1+x)(1+x)k≤[1+kx+x](2)
chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi
(2)⇔(1+x)k≤[(1+kx)+x]1+x(2)⇔(1+x)k≤[(1+kx)+x]1+x từ (1)=> 1+kx+xx+1≥(1+x)k≥(1+kx)1+kx+xx+1≥(1+x)k≥(1+kx)
⇒(1+kx)+xx+1≥(1+kx)⇔(1+kx)+x≥(1+kx)+x+kx2⇒(1+kx)+xx+1≥(1+kx)⇔(1+kx)+x≥(1+kx)+x+kx2(3)
(3)⇔[(1+kx)+x]−[(1+kx)+x]≥kx2(3)⇔[(1+kx)+x]−[(1+kx)+x]≥kx2⇔0≥kx2⇔0≥kx2 (***)
{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai
ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:
=> đpcm
