Nếu bạn chưa biết thì trước hết ta cần c/m BĐT sau với các số thực dương:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\left(a+b\right)\left(bx^2+ay^2\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
Sử dụng cho bài toán:
\(P=\frac{1}{4}\left(\frac{64}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{8^2}{x}+\frac{1^2}{y}\right)\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(8+1\right)^2}{x+y}\ge\frac{81}{4.5}=\frac{81}{20}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{81}{20}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\\frac{x}{8}=\frac{y}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{40}{9}\\y=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.\)
Đề bài ko đúng bạn
Biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{1}{4y}\) chỉ có GTNN khi \(x+y\le5\)
Còn \(x+y\ge5\) thì ko bao giờ P tồn tại GTNN được
