Question

\(\Delta\)ABC cân tại A , AM là trung tuyến , BH là đường cao . Gọi BH cắt AM tại K . Chứng minh CK \(\perp\) AB .

Answer 1

Xét ΔABM và ΔACM, có:

AB = AC (gt)

BM = CM ( do AM là đường trung tuyến)

AM: cạnh chung

Nên: ΔABM = ΔACM (c - c - c)

=> góc AMB = góc AMC ( 2 góc t/ư)

Mà: góc AMB + góc AMC = 180^o ( 2 góc kề bù)

Do đó: Góc AMB = góc AMC = 90^o

Xét ΔBKM và ΔCKM, có:

BM = CM ( do AM là đường trung tuyến)

góc KMB = góc KMC = 90^o ( Hay góc AMB = góc AMC)

KM: cạnh chung

Nên: ΔBKM = ΔCKM ( c - g - c)

=> góc KBM = góc KCM ( 2 góc t/ư)

Gọi CN giao AB tại N

Xét ΔBNC và ΔCHB, có:

góc NCB = góc HBC (hay góc KBM = góc KCM)

BC: cạnh chung

góc NBC = góc HCB (do ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBNC = ΔCHB ( g - c - g)

Nên: NB = HC ( 2 cạnh t/ư)

Lại có: AN + NB = AB (gt)

AH + HC = AC (gt)

Mà: NB = HC (cmt)

AB = AC ( do ΔABC cân tại A)

Do đó: AN = AH

Xét ΔABH = ΔACN, có:

AH = AN (cmt)

góc A: chung

AB = AC ( do ΔABC cân tại A)

Nên: ΔABH = ΔACN ( c - g - c)

=> góc AHB = góc ANC ( 2 góc t/ư)

Mà: góc AHB = 90^o (gt)

=> góc ANC = góc AHB = 90^o

Vậy CN ⊥ AB

Hay: CK ⊥ AB (đpcm)