a) Xét tam giác AMN và tam giác CPN ,có :
NM = NP ( gt )
NA = NC ( gt )
góc ANM = góc CNP ( đối đỉnh )
=> tam giác AMN = tam giác CPN ( c-g-c )
Vậy tam giác AMN = tam giác CPN ( c-g-c )
b) Vì tam giác AMN = tam giác CPN ( chứng minh câu a ) => góc MAN = góc PCN ( hai góc tương ứng ) mà hai góc ở vị trí so le trong nên AM // PC ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )
Vì AM = MB ( gt ) => CP // MB
c) Vì CP // AB ( chứng minh câu b ) => góc PCM = góc CMB hai góc so le trong )
Ta có : AM = PC ( tam giác AMN = tam giác CPN ) mà AM = MB ( gt ) => CP = MB
Xét tam giác PMC và tam giác BCM ,có :
MC : chung
CP = MB ( chứng minh trên )
góc PCM = góc BMC ( chứng minh trên )
=> tam giác PMC = tam giác BCM ( c-g-c ) => MP = CB ( hai cạnh tương ứng )
=> góc PMC = góc BCM ( hai cạnh tương ứng ) mà hai góc ở vị trí so le trong ) nên MP // BC ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )
Vì MN = NP ( gt ) ; MP = BC mà MN = 1/2 MP => MN = 1/2 BC
Vậy MP = CB ; MP // BC ; MN = 1/2 BC
Chứng minh :
a) Xét △AMN và △CPN có:
AN = CN ( gt )
\(\widehat{ANM}=\widehat{CNP}\text{( đối đỉnh )}\)
MN = PN ( gt )
⇒ △AMN = △CPN (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{NAM}=\widehat{NCP}\left(\text{tương ứng}\right)\)
b) \(\widehat{NAM}=\widehat{NCP}\left(\text{cmt}\right)\)
mà \(\widehat{NAM}\text{ và }\widehat{NCP}\) là hai góc so le trong
⇒ PC // AM ⇒ PC // AB ( dấu hiệu nhận biết)
c) Có △AMN = △CPN (cmt)
⇒ AM = PC ( tương ứng )
Mà AM = MB ( gt ) ⇒ PC = MB
Có PC // AB ( cmt )
⇒ \(\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\left(so\text{ le trong}\right)\)
Xét △BMC và △PCM có:
BM = PC ( cmt )
\(\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\left(cmt\right)\)
CM - cạnh chung
⇒ △BMC = △PCM ( c.g.c)
⇒ BC = PM ( tương ứng )
⇒ \(\widehat{BCM}=\widehat{PMC}\left(\text{tương ứng}\right)\)
Mà \(\widehat{BCM}\text{ và }\widehat{PMC}\) là hai góc so le trong
⇒ PM // CB ( dấu hiệu nhận biết )
*) Vì \(MN=\dfrac{1}{2}PM\left(gt\right)\)
Mà PM = BC
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC\)
